数学家欧拉证明的简单多面体（多面体欧拉定理的内容是什么怎么推导出来的）

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欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F和边数E之间存在关系。这个公式叫做欧拉公式。该公式描述了简单多面体的顶点数、面数和边数的独特规律。欧拉定理的意义：(1)数学规律：公式描述了一个简单多面体的顶点数、面数和棱数之间的唯一规律；(2)思路和方法的创新：在定理发现和证明过程中，概念上假设其表面是橡胶膜，可以随意拉伸；方法切去底面，变成平面图形(立体图平面图)。(3)引入拓扑：从立体图到开放图，每个面的形状、长度、距离、面积等与测量相关的量都发生了变化，而顶点、面和边的数量保持不变。定理引导我们进入几何学的一个新领域：拓扑学。我们用的是一种材料(比如橡胶波)，可以随意变形，但是不能撕，不能粘。拓扑学就是研究图形在这个变形过程中不变的性质。(4)提出一种多面体分类方法：在欧拉公式中，f(p)=V F-E称为欧拉特征。欧拉定理告诉我们，简单多面体f(p)=2。除了简单多面体，还有非简单多面体。比如在长方体上挖一个洞，连接底面上对应的顶点得到的多面体。它的表面可以通过连续变形变成圆环面而不是球面。其欧拉特征f(p)=16 16-32=0，即带洞多面体的欧拉特征为0。欧拉定理的证明方法1:(用几何画板)逐步减少多面体的棱数，分析V F-E首先以简单四面体ABCD为例分析证明方法。移除一个面，使其成为平面图形。四面体的顶点数V、边数V和剩余面数F1在变形后没有变化。所以为了研究V，E，F之间的关系，我们只需要去掉一个曲面，把它变成一个平面图形，证明如果V F1-E=1(1)去掉一条边，就减少一个曲面，V F1-E不变。依次去掉所有面，变成“树形”。(2)从剩下的分支中，去掉每一条边，减少一个顶点，V F1-E保持不变，直到只剩下一条边。上面的过程V F1-E不变，V F1-E=1，所以如果加上一个去除的曲面，V F-E=2。对于任何简单的多面体，用这种方法，只剩下一条线段。因此，该公式对任何简单多面体都是正确的。方法：计算多面体各面的内角，设置多面体的顶点数V，面数F，边数E。切掉一个面，使之成为平面图形(开放图形)，求所有面的和 。一方面，求原图中所有人脸的和。有f个面，每个面的边是n1，n2，…，nF，每个面的内角之和是=[(N1-2)1800(N2-2)1800…(nF-2)1800]=(n1 N2…nF-2f)1800=如果一个剖切面是一个N形多边形，其内角之和是(n-2) 1800，那么在所有V个顶点中，边上有N个顶点，V中间V-n个顶点的内角之和是(V-n) 3600，边N个顶点的内角之和是(n-2) 1800。所以，多面体内角之和：=(V-n)3600(n-2)1800(n-2)1800=(V F-E=2)3600。(2)得到(1)(2): (e-f) 3600。(c-a)(c-b)当r=0，1时，公式的值为0，当r=2时，值为1，当r=3时，值为a b c(2)。由E I=cosis得到复数：sin =(e I -e-I )/2 ICOS =(e则：D 2=R 2-2RR (4)多面体设V为顶点数，E为边数，F为面数，则v-e f=2-2pp为欧拉特征。例如，p=0的多面体称为第0个多面体，p=1的多面体称为第一个多面体。(5)多边形设二维几何图形的顶点数为V，分割区域数为Ar。有：V Ar-B=1(例如一个矩形和两条对角线组成的图形，V=5，Ar=4，B=8)(6)欧拉定理在同一个三角形内，其外圆心、重心、九点圆心、垂心共线。 其实欧拉公式有很多，以上只是几种常用的。用欧拉定理计算足球的五边形和六边形的个数Q:足球的表面是由五边形和六边形组成的。这样的五边形和六边形有多少？答案：足球是一个多面体，它满足欧拉公式F-E V=2，其中F、E、V E、V分别代表面、边、顶点数。足球表面分别有正五边形(黑色皮革)和正六边形(白色皮革)的X面和Y面。那么面的数目f=x y，边的数目e=(5x6y)/2(每条边由一块黑皮和一块白皮共用)和顶点的数目v=(5x6y)/3(每条顶点由三块皮共用)由欧拉公式确定，x y-(5x6y)/2 (5x6y)/3=2，这60条边用白皮缝在一起。白皮的话，每块白皮的六个边中，有三个边和黑皮的边缝在一起，另外三个边和其他白皮的边缝在一起。所以白皮的所有边有一半是和黑皮缝在一起的，所以白皮总共应该有60 2=120条边。20 6=20所以白皮经济学里有20条“欧拉定理”。在西方经济学中，产量与生产要素L和K的关系表示为Q=Q (L，K)。如果特定的函数形式在某一时刻是齐次的，那么就有：Q=L (Q/L) K (Q/K)，换句话说。因为Q/L=MPL=W/P视为劳动对产出的贡献，Q/K=MPK=R/P视为资本对产出的贡献。，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。【同余理论中的"欧拉定理"】设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(modm)(注:f(m)指模m的简系个数)欧拉公式在数学历史上有很多公式都是欧拉（LeonhardEuler公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。1、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。2、拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。3、初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以证明它。

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